ΜΕΡΙΚΕΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Με τον όρο Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις (ΜΔΕ) εννοείται το σύνολο των διαφορικών εξισώσεων που αφορούν μια συνάρτηση δύο τουλάχιστον μεταβλητών. Αυτού του είδους οι εξισώσεις παίζουν βασικό ρόλο τόσο σε τομείς καθαρά μαθηματικούς, όπως στη θεωρία των πραγματικών και μιγαδικών συναρτήσεων, την κλασική και τη σύγχρονη Διαφορική Γεωμετρία, όσο και στις φυσικές επιστήμες. Στη φυσική, ειδικότερα, οι ΜΔΕ αποτελούν την κεντρική συνιστώσα όλων των θεμελιακών θεωριών. Πιο συγκεκριμένα, όλες οι βασικές θεωρίες της φυσικής έχουν ως τώρα διατυπωθεί με τρόπο ώστε, μια ΜΔΕ, ή ένα σύστημα τέτοιων εξισώσεων, να δηλώνει μονοσήμαντα την αντίστοιχη θεωρία. Για παράδειγμα, η ΜΔΕ του Schrodinger αποτελεί την συμπυκνωμένη έκφραση της Κβαντομηχανικής. Με ακριβώς ανάλογο τρόπο, οι ΜΔΕ του Maxwell εκφράζουν την Κλασική Θεωρία του Ηλεκτρομαγνητισμού. Στόχος αυτού του βιβλίου είναι να προσφέρει μιαν εποπτική εισαγωγή στο αντικείμενο των ΜΔΕ. Στον παρόντα δεύτερο τόμο του, α) Εισάγονται προχωρημένες μαθηματικές έννοιες, όπως είναι οι «Μετασχηματισμοί (του) Fourier», οι «συναρτήσεις (του) Green» και οι «γενικευμένες συναρτήσεις», ή «κατανομές», και β) Παρουσιάζονται νέες μέθοδοι επίλυσης των «προβλημάτων αρχικών - συνοριακών τιμών» της Μαθηματικής Φυσικής που συνδέονται με τις γραμμικές ΜΔΕ δεύτερης τάξης.