ΤΟ ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ

Το «Θεμελιώδες Θεώρημα της ’λγεβρας» μας πληροφορεί ότι κάθε μιγαδικό πολυώνυμο οφείλει να έχει μια μιγαδική θέση μηδενισμού. Αυτό το ιδιάζουσας σημασίας αποτέλεσμα, η πρώτη αποδεκτή απόδειξη του οποίου εδόθη από τον ίδιο τον Gauss, εμπεριέχεται στην τομή της Θεωρίας Αριθμών και της Θεωρίας Εξισώσεων, ενώ εντοπίζεται και σε μια πληθώρα άλλων περιοχών των Μαθηματικών. Σκοπός του παρόντος συγγράμματος είναι η εξέταση τριών «ζευγών» αποδείξεων του εν λόγω θεωρήματος, προερχομένων από τρεις διαφορετικές μαθηματικές περιοχές: την Αφηρημένη ’λγεβρα, την Μιγαδική Ανάλυση και την Τοπολογία. Η πρώτη απόδειξη από κάθε «ζεύγος» είναι αρκετά απλή και χρησιμοποιεί μέσα μόνον από ό,τι θα χαρακτηρίζαμε ως «Στοιχειώδη Μαθηματικά». Ωστόσο, κάθε μια από αυτές τις πρώτες αποδείξεις επιδέχεται ενδιαφέρουσες γενικεύσεις, που, με τη σειρά τους, οδηγούν σε ακόμη πιο γενικά θεωρήματα, εκ των οποίων το Θεμελιώδες Θεώρημα της ’λγεβρας έπεται ως άμεσο πόρισμα. Στα γενικότερα αυτά αποτελέσματα βασίζεται η δεύτερη απόδειξη του εκάστοτε θεωρούμενου «ζεύγους». Κατά τη πορεία προς τις επιδιωκόμενες αποδείξεις, οι συγγραφείς αναπτύσσουν με σαφήνεια τις απαιτούμενες αλγεβρικές, αναλυτικές και τοπολογικές τεχνικές, παρέχοντας ταυτοχρόνως τόσο επεξεργασμένα παραδείγματα όσο και περαιτέρω θεωρητικές εφαρμογές. Ενδεικτικώς αναφέρονται τα κλασικά θεωρήματα των Gauchy, Liouville, Morera, Rouche κ.α (από τη Μιγαδική Ανάλυση), η υπερβατικότητα των αριθμών e και π, η μη επιλυσιμότητα της γενικής πεμπτοβάθμιας εξίσωσης (από τη Θεωρία Galois), και οι βασικοί ορισμοί περί της ομοτυπίας, των μονοπλεκτικών ομολογικών ομάδων κ.α. (από την Τοπολογία). Σημειωτέον ότι οι επί μέρους ενότητες συνοδεύονται από ασκήσεις κυμαινόμενου βαθμού δυσκολίας, καθώς και από αρκετούς ιστορικούς σχολιασμούς.