ΑΛΓΕΒΡΑ

Η ’λγεβρα είναι ένας από τους βασικότερους και παλαιότερους κλάδους της Μαθηματικής Επιστήμης. Η σπουδαιότητά της δεν οφείλεται μόνο στη ποικιλία των μεθόδων και προβλημάτων της, αλλά και στις σημαντικές εφαρμογές της σε άλλους κλάδους της επιστήμης, όπως για παράδειγμα στη Κβαντική Μηχανική, Θεωρία Ελέγχου, Κρυπτογραφία και Θεωρία Κωδίκων. Το παρόν σύγγραμμα περιέχει την ύλη της άλγεβρας η οποία διδάσκεται στο προπτυχιακό πρόγραμμα ενός Τμήματος Μαθηματικών, καθώς και θέματα τα οποία περιλαμβάνονται συνήθως σε μεταπτυχιακά μαθήματα. Επίσης, περιέχει πολλά παραδείγματα, καθώς και άλυτες ασκήσεις ποικίλης δυσκολίας. Οι προαπαιτούμενες γνώσεις για την κατανόηση του περιεχομένου του περιορίζονται σ’ αυτές της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης. Σκοπός αυτού του συγγράμματος είναι ν’ αποτελέσει χρήσιμο βοήθημα για οποιονδήποτε επιθυμεί να μελετήσει τα θέματα που διαπραγματεύεται. Το σύγγραμμα αυτό αποτελείται από 13 κεφάλαια. Στο πρώτο δίνονται οι βασικές ιδιότητες των συνόλων, των σχέσεων, των απεικονίσεων, η αξιωματική θεμελίωση των φυσικών αριθμών και εισάγονται οι πιο απλές αλγεβρικές δομές της ημιομάδας και του μονοειδούς. Το δεύτερο κεφάλαιο ασχολείται με τους ακέραιους αριθμούς. Παρουσιάζεται η αξιωματικής τους θεμελίωση και μελετώνται η Ευκλείδεια διαίρεση, ο μέγιστος κοινός διαιρέτης, το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο, οι πρώτοι αριθμοί και οι ιδιότητες της σχέσης ισοτιμίας. Στο τρίτο κεφάλαιο δίνεται μία εισαγωγή στη θεωρία ομάδων. Παρουσιάζονται οι βασικές ιδιότητες των ομάδων, οι μορφισμοί τους, οι υποομάδες τους, τα θεωρήματα των Lagrange και Sylow, καθώς και οι επιλύσιμες ομάδες. Στο τέταρτο κεφάλαιο περιγράφουμε την δομή των δακτυλίων, τα ιδεώδη τους, τους μορφισμούς τους και το σώμα κλασμάτων ενός πεδίου ακεραιότητας. Ο δακτύλιος των πολυωνύμων είναι το θέμα του πέμπτου κεφαλαίου. Σ’ αυτό μελετώνται, η διαιρετότητα των πολυωνύμων, οι ρίζες τους και δίνεται μία απόδειξη του Θεμελιώδους Θεωρήματος της ’λγεβρας, καθώς και οι μέθοδοι επίλυσης των εξισώσεων.